关于边理想幂的 Stanley 深度

设 $\mathbb{K}$ 为一个域，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ 为 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 变量多项式环。设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的图。假设 $I=I(G)$ 为 $G$ 的边理想，$p$ 为其二部连通分量的数量。我们证明，对于任意正整数 $k$，不等式 ${\rm sdepth}(I^k/I^{k+1})\geq p$ 和 ${\rm sdepth}(S/I^k)\geq p$ 成立。作为推论，我们得出对于任意整数 $k\geq n-1$，$S/I^k$ 满足 Stanley 不等式。此外，由此可得对于任意整数 $k\gg 0$，$I^k/I^{k+1}$ 满足 Stanley 不等式。进一步地，我们证明如果 (i) $G$ 是非二部图，或者 (ii) $G$ 的至少一个连通分量是具有至少一条边的树，那么对于任意整数 $k\geq n-1$，$I^k$ 满足 Stanley 不等式。此外，我们在特殊情况下验证了作者的一个猜想。