单项式理想整闭包的Stanley深度

设$I$是多项式环$S=\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$中的单项式理想。我们研究$I$的整闭包$\bar{I}$的Stanley深度。我们证明对于每个整数$k\geq 1$，不等式${\rm sdepth} (S/\bar{I^k}) \leq {\rm sdepth} (S/\bar{I})$和${\rm sdepth} (\bar{I^k}) \leq {\rm sdepth} (\bar{I})$成立。我们还证明对于每个单项式理想$I\subset S$，存在整数$k_1,k_2\geq 1$，使得对于每个$s\geq 1$，不等式${\rm sdepth} (S/I^{sk_1}) \leq {\rm sdepth} (S/\bar{I})$和${\rm sdepth} (I^{sk_2}) \leq {\rm sdepth} (\bar{I})$成立。特别地，$\min_k \{{\rm sdepth} (S/I^k)\} \leq {\rm sdepth} (S/\bar{I})$和$\min_k \{{\rm sdepth} (I^k)\} \leq {\rm sdepth} (\bar{I})$。我们猜想对于每个整闭的单项式理想$I$，不等式${\rm sdepth}(S/I)\geq n-\ell(I)$和${\rm sdepth} (I)\geq n-\ell(I)+1$成立，其中$\ell(I)$是$I$的解析扩度。假设该猜想成立，结合Burch不等式可推出，若$I$是正规理想，则Stanley猜想对$I^k$和$S/I^k$（$k\gg 0$）成立。