单项式理想 Stanley 深度的两个下界

设 $J\varsubsetneq I$ 为多项式环 $S=\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]$ 中的两个单项式理想。在本文中，我们提供了 $I/J$ 的 Stanley 深度的两个下界。一方面，我们引入了 $I/J$ 的最小公倍数数 (lcm number) 的概念，记为 $l(I/J)$，并证明了不等式 ${\rm sdepth}(I/J)\geq n-l(I/J)+1$ 成立。另一方面，我们证明了 ${\sdepth}(I/J)\geq n-\dim L_{I/J}$，其中 $\dim L_{I/J}$ 表示 $I/J$ 的最小公倍数格的序维数。我们表明，如果 $I$ 的最小公倍数数或 $I$ 的最小公倍数格的序维数足够小，则 $I$ 和 $S/I$ 满足 Stanley 猜想。除其他结果外，我们还证明了顶点可分解单纯复形的 Stanley--Reisner 理想满足 Stanley 猜想。