小生成元个数单项式理想的Stanley深度

对于单项式理想 $I\subset S=K[x_1,...,x_n]$，我们证明 $\sdepth(S/I)\geq n-g(I)$，其中 $g(I)$ 是 $I$ 的极小单项式生成元个数。若 $I=vI'$，其中 $v\in S$ 是单项式，则可得 $\sdepth(S/I)=\sdepth(S/I')$。我们证明，若 $I\subset S$ 是由三个单项式极小生成的单项式理想，则 $I$ 和 $S/I$ 满足Stanley猜想。给定一个饱和的单项式理想 $I\subset K[x_1,x_2,x_3]$，我们证明 $\sdepth(I)=2$。作为推论，对任意 $I\subset K[x_1,x_2,x_3]$ 中的单项式理想，有 $\sdepth(I)\geq \sdepth(K[x_1,x_2,x_3]/I)+1$。