关于无平方单项式理想的Hilbert深度的注记

设$K$为无限域，$S=K[x_1,\ldots,x_n]$，且$0\subset I\subsetneq J\subset S$为两个无平方单项式理想。在先前论文中我们证明了$J/I$的Hilbert深度的新公式。本文中，我们阐明如何利用（相对）单纯复形与（商）无平方单项式理想之间的Stanley-Reisner对应，以重新得到Hilbert深度的一些基本性质。更确切地说，我们证明$\operatorname{depth}(J/I)\leq \operatorname{hdepth}(J/I)\leq \dim(J/I)$。同时，我们证明若$S/I$是Cohen-Macaulay的，则$\operatorname{hdepth}(I)\geq \operatorname{hdepth}(S/I)+1$。