关于单项理想幂的 Stanley 深度

设 $\mathbb{K}$ 为域，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ 为 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 个变量的多项式环。1982 年，R. Stanley 为任意有限生成的 $\mathbb{Z}^n$-分次 $S$-模赋予了一个组合不变量，现称为 Stanley 深度。Stanley 猜想该不变量是模深度的上界。Stanley 猜想已被 Duval 等人 \cite{abcj} 证伪，其反例是平方自由单项理想的一个商。另一方面，有证据表明 Stanley 不等式对单项理想的高次幂可能成立。在这篇综述文章中，我们收集了该方向上的近期结果。更确切地说，我们研究了单项理想的幂、幂的整数闭包以及符号幂的 Stanley 深度。