路图路径理想幂的深度与 Stanley 深度

设 $I_{n,m}:=(x_1x_2\cdots x_m,\; x_2x_3\cdots x_{m+1},\; \ldots,\; x_{n-m+1}\cdots x_n)$ 为长度为 $n$ 的路图在环 $S=K[x_1,\ldots,x_n]$ 中的 $m$-路径理想。我们证明：$$\mathtt{depth}(S/I_{n,m}^t)=\begin{cases} n-t+2 - \left\lfloor \frac{n-t+2}{m+1} \right\rfloor - \left\lceil \frac{n-t+2}{m+1} \right\rceil, & t \leq n+1-m \\ m-1,& t > n+1-m \end{cases},\text{ 对所有 }t\geq 1.$$ 此外，我们证明对所有 $t\geq 1$，有 $\mathtt{depth}(S/I_{n,m}) \geq \mathtt{sdepth}(S/I_{n,m}^t) \geq \mathtt{depth}(S/I_{n,m}^t)$ 且 $\mathtt{sdepth}(I_{n,m}^t)\geq \mathtt{depth}(I_{n,m}^t)$。