路径理想幂的graded Betti数

设 $I_{n,m} = (x_1\cdots x_{m},x_2 \cdots x_{m+1},\ldots,x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{n+m})$ 为长度为 $n + m-1$ 路径上的 $m$ 条路径理想，定义在多项式环 $S = \mathrm{k}[x_1,\ldots,x_{n+m}]$ 上。我们计算了所有 $I_{n,m}$ 的所有幂的graded Betti数。