圈路理想幂的Betti数

设 $J_{n,m} = (x_1\cdots x_{m},x_2 \cdots x_{m+1},\ldots,x_{n}x_1\cdots x_{m-1})$ 是长度为 $n \ge 5$ 的圈上 $m$-路理想，定义在多项式环 $S = k[x_1,\ldots,x_n]$ 上。令 $t\geq 1$ 为整数。我们证明 $J_{n,m}^t$ 具有线性自由分解，并给出了当 $m = n-1, n-2$ 时其所有Betti数的精确公式。