线图路径理想幂的正则性

设 $L_n$ 为含 $n$ 个顶点的线图，$I$ 为其 $t$-路径理想。本文证明：对某个 $s\geq 1$（或等价地对所有 $s\geq 1$），$I^s$ 具有线性分解当且仅当对某个 $s\geq 1$（或等价地对所有 $s\geq 1$）其具有线性商当且仅当 $t\leq n\leq 2t$。此外，我们给出了对所有 $s\geq 1$ 的 $I^s$ 正则性的显式公式。结果表明，其从一开始关于 $s$ 便是线性的。