平方自由单项式理想的幂的重数

设 $I$ 是多项式环 $S = \mathrm{k}[x_1,\ldots,x_n]$ 中维数为 $d$ 的任意非零平方自由单项式理想。设 $\mu$ 为 $S/I$ 中维数为 $d$ 的相伴素理想的个数。我们证明 $I$ 的幂的重数由以下公式给出：$$e_0(S/I^s) = \mu \binom{n-d+s-1}{s-1},$$ 对所有 $s \ge 1$ 成立。作为推论，我们计算了圈路径理想的所有幂的重数。