圈与树的边理想幂的深度

设$I$为长度$n \ge 5$的圈在多项式环$S = \mathrm{k}[x_1,\ldots,x_n]$上的边理想。我们证明对于$2 \le t < \lceil (n+1)/2 \rceil$，$$\operatorname{depth} (S/I^t) = \lceil \frac{n -t + 1}{3} \rceil.$$当$G = T_{\mathbf{a}}$为星状树，即$k$条长度分别为$a_1, \ldots, a_k$的路径在公共根$1$处的联（join）时，我们给出$I(T_{\mathbf{a}})$的幂的深度公式。