边理想深度函数的递减性态

设 $I$ 为连通非二部图的边理想,$R$ 为底多项式环。则 $\operatorname{depth} R/I \ge 1$ 且对 $t \gg 1$ 有 $\operatorname{depth} R/I^t = 0$。我们给出组合条件,使得在中间某些 $t$ 有 $\operatorname{depth} R/I^t = 1$,并证明此后深度函数非增。特别地,深度函数在达到 1 后迅速降为 0。我们证明:若 $\operatorname{depth} R/I = 1$ 则 $\operatorname{depth} R/I^2 = 0$;若 $\operatorname{depth} R/I^2 = 1$ 则 $\operatorname{depth} R/I^5 = 0$。其他类似结果表明,若 $\operatorname{depth} R/I^t = 1$ 则 $\operatorname{depth} R/I^{t+3} = 0$。这是一个令人惊讶的现象,因为某次幂的深度可决定另一更小次幂的深度。此外,我们给出了对 $t \gg 1$ 有 $\operatorname{depth} R/I^{(t)} = 1$ 的一个简单组合判据,并证明条件 $\operatorname{depth} R/I^{(t)} = 1$ 具有持续性,其中 $I^{(t)}$ 表示 $I$ 的第 $t$ 次符号幂。