齐次理想符号幂的深度函数

本文讨论比较理想符号幂的最小自由分解的问题。我们的研究集中于函数 depth R/I^(t) = dim R - pd I^(t) - 1 的行为，其中 I^(t) 表示诺特多项式环 R 中齐次理想 I 的第 t 个符号幂，pd 表示射影维数。若 I 为平方自由单项理想，函数 depth R/I^(t) 是否非增一直是一个未决问题。我们证明 depth R/I^(t) 几乎是是非增的，即对所有 s \ge 1 与 t \in E(s)，有 depth R/I^(s) \ge depth R/I^(t)，其中 E(s) = \cup_{i \ge 1} {t \in N| i(s-1)+1 \le t \le is}（其包含所有整数 t \ge (s-1)^2+1）。范围 E(s) 是最佳可能的，因为我们可以找到平方自由单项理想 I 使得对 t \not\in E(s) 有 depth R/I^(s) < depth R/I^(t)，这给出了对上述问题的否定回答。另一未决问题询问函数 depth R/I^(t) 是否在 t \gg 0 时恒为常数。我们能够通过单项理想构造此问题的反例。另一方面，我们证明若 I 为单项理想且对 t \gg 0 有 I^(t) 为整闭的（例如 I 为平方自由单项理想），则 depth R/I^(t) 对 t \gg 0 为常数且 lim_{t \to \infty} depth R/I^(t) = dim R - dim \oplus_{t \ge 0} I^(t)/m I^(t)。我们最后的结果（本文主要贡献）表明，对任意在 t \gg 0 时为周期的正数值函数 \phi(t)，存在多项式环 R 与齐次理想 I 使得对所有 t \ge 1 有 depth R/I^(t) = \phi(t)。作为推论，对任意在 t \gg 0 时为周期的非负数值函数 \psi(t)，存在齐次理想 I 与常数 c 使得对所有 t \ge 1 有 pd I^(t) = \psi(t) + c。