理想和的符号幂

设$I$和$J$是域$k$上两个诺特代数$A$和$B$中的非零理想。设$I+J$表示由$A\otimes_k B$中的$I$和$J$生成的理想。我们证明了符号幂的以下展开式：$$(I+J)^{(n)} = \sum_{i+j = n} I^{(i)} J^{(j)}.$$ 如果$A$和$B$是多项式环，且$\text{char}(k) = 0$或$I$和$J$是单项式理想，我们给出了$(I+J)^{(n)}$的深度和Castelnuovo-Mumford正则性的精确公式，这些公式依赖于$I$和$J$的符号幂之间的相互作用。证明涉及一个具有独立意义的结果，该结果指出，在上述假设下，对所有$i \ge 0$，$n \ge 0$，诱导映射$\text{Tor}_i^A(k,I^{(n)}) \to \text{Tor}_i^A(k,I^{(n-1)})$为零。我们还研究了$(I+J)^{(n)}$的其他性质和不变量，如普通幂与符号幂的相等性、Waldschmidt常数和Cohen-Macaulay性。