理想和之幂的积分闭包

设 $k$ 为一个域,令 $A$ 和 $B$ 为 $k$ 上的多项式环,并令 $S = A \otimes_k B$。设 $I \subseteq A$ 和 $J \subseteq B$ 为单项理想。我们建立了 $I+J \subseteq S$ 的有理幂关于 $I$ 和 $J$ 的有理幂的二项式展开。特别地,对于正有理数 $u$,我们证明 $(I+J)_u = \sum_{0 \le \omega \le u, \ \omega \in \mathbb{Q}} I_\omega J_{u-\omega}$,且右侧的和为有限和。利用 $I$ 和 $J$ 的有理幂的跳跃数可使该有限和更加明确。我们进一步给出了该公式对 $I+J$ 的幂的积分闭包(以 $I$ 和 $J$ 的幂的积分闭包表示)成立的充分条件。在这些条件下,我们给出了 $\overline{(I+J)^k}$ 的深度和正则性关于 $I$ 和 $J$ 的幂的相应量的显式公式。