算数递进数列幂和多项式值的有效有限性结果

我们证明了关于多项式值的有效有限性结果，具体涉及等差数列的幂和以及交替幂和，其中表达式为 $$b^k +\left(a+b\right)^k + \cdots + \left(a\left(x-1\right) + b\right)^k$$ 和 $$b^k - \left(a+b\right)^k + \left(2a+b\right)^k - \ldots + (-1)^{x-1} \left(a\left(x-1\right) + b\right)^k$$ ，其中 $a \neq 0,b, k$ 为给定整数，且 $\gcd(a,b)=1$ 且 $k \geq 2$。