关于自然数的幂之和

本文考虑了求解多项式值之和的问题。特别地，对于任意 $n\geq 3$，证明了自然数 $n$ 次幂之和 $S_n=\sum_{x=1}^{m}x^{n}$ 的显式公式：$$\sum_{x=1}^{m}x^{n}=(-1)^{n}m(m+1)(-\frac{1}{2}+\sum_{i=2}^{n}a_i(m+2)(m+3)...(m+i)),$$ 这里 $a_i=\frac{1}{i+1}\sum_{k=1}^{i}\frac{(-1)^{k}k^{n}}{k!(i-k)!}$, $(i=2,3,...,n-1)$, $a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}$。注意该公式不包含伯努利数。