关于Apéry多项式之和及相关同余式

Apéry多项式定义为 $$A_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2x^k\ \ (n=0,1,2,\ldots).$$ （其中 $A_n=A_n(1)$ 是Apéry数。）设 $p$ 为奇素数。我们证明对于任意 $p$ 进整数 $x\not\equiv 0\pmod p$，有 $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(x)\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^3}{16^k}x^k\pmod{p^2},$$ 以及 $$\sum_{k=0}^{p-1}A_k(x)\equiv\left(\frac xp\right)\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{4k}{k,k,k,k}}{(256x)^k}\pmod{p}.$$ 这使我们能够明确确定 $\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kA_k$ 模 $p$，以及在 $p\equiv 2\pmod3$ 的情况下 $\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k$ 模 $p^2$。另一个推论指出 $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(-2)\equiv\begin{cases}4x^2-2p\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p=x^2+4y^2\ (x,y\in\mathbb Z),\\0\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p\equiv3\pmod4.\end{cases}$$ 我们还证明，对于任意素数 $p>3$，有 $$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)A_k\equiv p+\frac 76p^4B_{p-3}\pmod{p^5}$$ 其中 $B_0,B_1,B_2,\ldots$ 是伯努利数。