涉及 Delannoy 多项式幂的一些同余式

Delannoy 多项式 $D_n(x)$ 定义为 $$D_n(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}x^k.$$ 我们证明，如果 $x$ 是整数且 $p$ 是不整除 $x(x+1)$ 的素数，则 \begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)D_k(x)^3 &\equiv p\left(\frac{-4x-3}{p}\right) \pmod{p^2}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)D_k(x)^4 &\equiv p \pmod{p^2}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k(2k+1)D_k(x)^3 &\equiv p\left(\frac{4x+1}{p}\right) \pmod{p^2}, \end{align*} 其中 $\big(\frac{\cdot}{p}\big)$ 表示 Legendre 符号。前两个同余式证实了 Z.-W. Sun 的一个猜想 [Sci. China 57 (2014), 1375--1400]。第三个同余式证实了 Z.-W. Sun 另一个猜想的特例 [J. Number Theory 132 (2012), 2673--2699]。我们还证明，对于任意整数 $x$ 和奇素数 $p$，成立 \begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k(2k+1)D_k(x)^4 &\equiv p\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}} (-1)^k {2k\choose k}^2(x^2+x)^k(2x+1)^{2k} \pmod{p^2}, \end{align*} 并猜想其在模 $p^3$ 下仍然成立。