Delannoy数与多项式和的同余式

本文应用幂可分约化方法研究涉及Delannoy数 $D_k$ 与多项式 $D_k(z)$ 的和的算术性质。设 $v\in\bN$，$p$ 为奇素数。证明了对任意 $z\in\bZ\setminus\{0,-1\}$，存在 $c_v\in z^{-v}\bZ[z]$ 和 $\tilde{c}_v\in (z+1)^{-v}\bZ[z]$，两者均与 $p$ 无关且可机械确定，使得当 $\gcd(p,z)=1$ 时，\begin{equation*} \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)^{2v}D_k(z)\equiv c_v \left(\frac{-z}{p}\right) \pmod {p} \end{equation*}当 $\gcd(p,z+1)=1$ 时，\begin{equation*} \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k(2k+1)^{2v}D_k(z)\equiv \tilde{c}_v \left(\frac{z+1}{p}\right) \pmod {p} \end{equation*}其中 $(-)$ 表示勒让德符号。当 $n$ 为2的幂时，我们发现存在奇数 $\rho_v$ 和偶数 $\tilde{\rho}_v$，两者均与 $n$ 无关且可机械确定，使得$$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)^{2v+1}D_k\equiv \rho_v n \pmod {n^3}$$以及$$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k(2k+1)^{2v+1}D_k\equiv \tilde{\rho}_v n^2 \pmod {n^3}.$$最后一个同余式中 $v=1$ 的情形证实了Guo和Zeng在2012年提出的猜想。