关于一个涉及调和级数与伯努利数的同余式

2003年，Zhao 发现了一个涉及调和级数与伯努利数的奇妙同余式：对任意奇素数 $p$，$$\sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,p)=1\\i+j+k=p}}\frac{1}{ijk}\equiv -2B_{p-3} \pmod{p},$$ 其中 $B_n$ 是第 $n$ 个伯努利数。该同余式先后被 Wang 和 Cai（2014年）以及 Cai、Shen 和 Jia（2017年）推广，分别将求和与模中的奇素数 $p$ 替换为奇素数幂以及两个奇素数幂的乘积。特别地，Cai、Shen 和 Jia 提出了一个猜想同余式：对任意含有奇素因子 $p$ 且满足 $p^r \parallel n$（$r\ge 1$）的正整数 $n$，$$\sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,n)=1\\i+j+k=n}}\frac{1}{ijk}\equiv -2B_{p-3}\cdot \frac{n}{p}\cdot \prod_{\substack{\text{prime $q\mid n$}\\q\ne p}}\left(1-\frac{2}{q}\right)\left(1-\frac{1}{q^3}\right) \pmod{p^r}.$$ 本文建立了他们这一猜想的如下推广：对任意含有奇素因子 $p$ 且满足 $p^r \parallel n$（$r\ge 1$）的正整数 $n$，$$\begin{aligned} \sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,n)=1\\a_1 i+a_2 j+a_3 k=An}}\frac{1}{ijk}&\equiv -2B_{p-3}\cdot \frac{n}{p}\cdot \frac{Ag^3}{3}\left(\frac{1}{a_1^2 g_1^2}+\frac{1}{a_2^2 g_2^2}+\frac{1}{a_3^2 g_3^2}\right)\\ &\quad\times \prod_{\substack{\text{prime $q\mid n$}\\q\ne p}}\left(1-\frac{2}{q}\right)\left(1-\frac{1}{q^3}\right) \pmod{p^r}, \end{aligned}$$ 其中 $a_1$、$a_2$ 和 $a_3$ 是与 $p$ 互素的正整数，$A$ 是 $a_1$、$a_2$ 和 $a_3$ 的正公倍数。此外，$g_1=\gcd(a_2,a_3)$，$g_2=\gcd(a_3,a_1)$，$g_3=\gcd(a_1,a_2)$，$g=\gcd(a_1,a_2,a_3)$。