涉及多重调和和与伯努利数的超同余式

设 $m$、$r$ 和 $n$ 为正整数。我们用 ${\bf k}\vdash n$ 表示任意奇数正整数组 ${\bf k}=(k_1,\dots,k_t)$，满足 $k_1+\dots+k_t=n$ 且对所有 $j$ 有 $k_j\ge 3$。本文证明，对每个充分大的素数 $p$，有 $$\sum_{\substack{l_1+l_2+\cdots+l_n=mp^r p\nmid l_1 l_2 \cdots l_n }} \frac1{l_1l_2\cdots l_n} \equiv p^{r-1} \sum_{{\bf k}\vdash n} C_{m,{\bf k}} B_{p-{\bf k}} \pmod{p^r}$$ 其中 $B_{p-{\bf k}}=B_{p-k_1}B_{p-k_2}\cdots B_{p-k_t}$ 是伯努利数的乘积，系数 $C_{m,{\bf k}}$ 是 $m$ 的多项式，与 $p$ 和 $r$ 无关。这推广了许多不同作者先前的结果，并证实了作者及其合作者的一个猜想。