涉及多重调和和与有限多重 Zeta 值的同余式

设 $p$ 为素数，${\mathfrak P}_p$ 为与 $p$ 互素的正整数集合。最近，Wang 和 Cai 证明了对于每个正整数 $r$ 和素数 $p>2$，有 $$\sum_{\substack{i+j+k=p^r\ i,j,k\in{\mathfrak P}_p}} \frac1{ijk} \equiv -2p^{r-1} B_{p-3} \pmod{p^r},$$ 其中 $B_{p-3}$ 是第 $(p-3)$ 个 Bernoulli 数。在本文中，我们证明了以下类似结果：设 $n=2$ 或 $4$。则对于每个正整数 $r\ge n/2$ 和素数 $p>4$，有 $$\sum_{\substack{i_1+\cdots+i_n=p^r\ i_1,\dots,i_n\in{\mathfrak P}_p}} \frac1{i_1i_2\cdots i_n} \equiv -\frac{n!}{n+1} p^{r} B_{p-n-1} \pmod{p^{r+1}}.$$ 此外，通过使用整数关系检测工具 PSLQ，我们可以表明涉及更大整数 $n$ 的推广应当包含由 Bernoulli 数生成的有限多重 Zeta 值。