关于 ${2p-1\choose p-1}$ 模 $p^7$ 的确定

在本文中，我们证明了对任意素数 $p\ge 11$ 有 $${2p-1\choose p-1}\equiv 1 -2p \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} +4p^2\sum_{1\le i<j\le p-1}\frac{1}{ij}\pmod{p^7}.$$ 这是著名的Wolstenholme定理的推广，该定理断言对所有素数 $p\ge 5$ 有 ${2p-1\choose p-1} \equiv 1 \,\,(\bmod\,\,p^3)$。我们的证明是初等的，没有使用涉及伯努利数的幂和经典公式的标准技巧。注意，上述同余式分别模 $p^6$、$p^5$ 和 $p^4$ 约化后，可得到R. Tauraso、J. Zhao和J.W.L. Glaisher获得的相关同余式。