Wolstenholme与Morley同余式的推广

在本文中，我们证明对于任意奇素数 $p$ 和任意 $p$-整数 $\alpha$，我们有 $\binom{\alpha p-1}{p-1}\equiv 1-\alpha (\alpha -1)(\alpha ^{2}-\alpha -1)p\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}+\alpha ^{2} (\alpha-1)^{2}p^{2}\sum_{1\leq i<j\leq p-1}\frac{1}{ij} \ \pmod{p^{m}}$，其中若 $p\neq 7$ 则 $m=7$，若 $p=7$ 则 $m=6$。该同余式推广了Wolstenholme、Morley、Glaisher、Carlitz、McIntosh、Tauraso和Meštrović的同余式。它使得人们能够以一种简单的方式重新发现Glaisher、Carlitz和Zhao的同余式。