关于某类广义多谐和的研究

设 $p$ 为一个奇素数，Jianqiang Zhao 已经建立了一个好奇的同余式，即 $$\sum_{i+j+k=p \atop i,j,k > 0} \frac{1}{ijk} \equiv -2B_{p-3}\pmod p ,$$ 其中 $B_{n}$ 表示第 $n$ 个Bernoulli数。本文将对此类求和进行广义化，并证明一族关于素数幂 $p^r$ 的相似同余式。