对 van Hamme 和 Mortenson 一个同余结果的精细化

设 $p$ 为一个奇素数。2008 年，E. Mortenson 证明了 van Hamme 的如下猜想：$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(4k+1)\binom{-1/2}k^3\equiv (-1)^{(p-1)/2}p\pmod{p^3}.$$ 在本文中，我们进一步证明 \begin{align*}\sum_{k=0}^{p-1}(4k+1)\binom{-1/2}k^3\equiv &\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(4k+1)\binom{-1/2}k^3 \\\equiv & (-1)^{(p-1)/2}p+p^3E_{p-3} \pmod{p^4},\end{align*} 其中 $E_0,E_1,E_2,\ldots$ 是欧拉数。我们还证明，若 $p>3$，则 $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{20k+3}{(-2^{10})^k}\binom{4k}{k,k,k,k}\equiv(-1)^{(p-1)/2}p(2^{p-1}+2-(2^{p-1}-1)^2)\pmod{p^4}.$$