与欧拉数相关的一些超同余的$q$-类似

设$E_n$为第$n$个欧拉数，$(a)_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)$为上升阶乘。设$p>3$为素数。2012年，Sun证明了$$\sum^{(p-1)/2}_{k=0}(-1)^k(4k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} \equiv p(-1)^{(p-1)/2}+p^3E_{p-3} \pmod{p^4},$$这是Van Hamme一个著名超同余的精细化。2016年，Chen、Xie和He建立了如下结果：$$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k (3k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} 2^{3k} \equiv p(-1)^{(p-1)/2}+p^3E_{p-3} \pmod{p^4},$$该式最初由Sun猜想。本文利用$q$-WZ方法给出上述两个超同余的$q$-类似。作为结论，我们给出了Sun如下超同余的一个$q$-类似：$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{(\frac{1}{2})_k^2}{k!^2} \equiv (-1)^{(p-1)/2}+p^2 E_{p-3} \pmod{p^3}.$$