关于 Z.-W. Sun 的两个猜想超同余式

在本文中，我们主要利用如下恒等式 $$\sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}^2\binom{2n-2k}{n-k}^2=16^n\sum_{k=0}^n\frac{\binom{n+k}{k}\binom{n}{k}\binom{2k}{k}^2}{(-16)^k}$$ 证明了 Sun 的两个猜想超同余式，该恒等式源于 ${}_4F_3$ 超几何变换。对于任意素数 $p>3$，我们证明 \begin{gather*} \sum_{n=0}^{p-1}\frac{n+1}{8^n}\sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}^2\binom{2n-2k}{n-k}^2\equiv(-1)^{(p-1)/2}p+5p^3E_{p-3}\pmod{p^4},\\ \sum_{n=0}^{p-1}\frac{2n+1}{(-16)^n}\sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}^2\binom{2n-2k}{n-k}^2\equiv(-1)^{(p-1)/2}p+3p^3E_{p-3}\pmod{p^4}, \end{gather*} 其中 $E_{p-3}$ 为第 $(p-3)$ 个欧拉数。