用 Wilf-Zeilberger 方法证明两个超同余式

本文中，我们用 Wilf-Zeilberger 方法证明两个超同余式。其中之一是：对任意素数 $p>3$，\begin{align*} \sum_{n=0}^{(p-1)/2}\frac{3n+1}{(-8)^n}\binom{2n}n^3\equiv p\left(\frac{-1}p\right)+\frac{p^3}4\left(\frac2p\right)E_{p-3}\left(\frac14\right)\pmod{p^4}, \end{align*} 其中 $\left(\frac{\cdot}p\right)$ 表示勒让德符号，$E_{n}(x)$ 为欧拉多项式。该同余式证实了 Sun \cite[(2.18)]{sun-numb-2019} 在 $n=1$ 时的猜想。