与 Van Hamme 一个同余式相关的若干同余式

我们建立了若干与 Van Hamme 一个超同余式相关的超同余式，例如 \begin{align*} \sum_{k=0}^{(p+1)/2} (-1)^k (4k-1)\frac{(-\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} &\equiv p(-1)^{(p+1)/2}+p^3(2-E_{p-3})\pmod{p^{4}},\\ \sum_{k=0}^{(p+1)/2} (4k-1)^5 \frac{(-\frac{1}{2})_k^4}{k!^4} &\equiv 16p\pmod{p^{4}}, \end{align*} 其中 $p$ 为奇素数且 $E_{p-3}$ 为第 $(p-3)$ 个 Euler 数。我们的证明使用了 Z.-W. Sun 的若干同余式、Wilf--Zeilberger 方法、Whipple 的 $_7F_6$ 变换，以及 Schneider 开发的软件包 {\tt Sigma}。我们还提出了两个相关猜想。