Chan 与 Verrill 的 $1/\pi$ 公式的 $p$-进类比

我们证明了关于 Almkvist-Zudilin 数之和的三个超同余式，证实了 Zudilin 与 Z.-H. Sun 的一些猜想。一个典型例子是 Ramanujan 型超同余式：\begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1} \frac{4k+1}{81^k}\gamma_k \equiv \left(\frac{-3}{p}\right) p\pmod{p^3}, \end{align*} 其对应于 Chan 与 Verrill 的 $1/\pi$ 公式：\begin{align*} \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+1}{81^k}\gamma_k = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}. \end{align*} 此处 $\gamma_n$ 为 Almkvist-Zudilin 数。