两个超同余式的一个公共$q$-类比

我们给出一个$q$-同余式，其特例$q=-1$和$q=1$分别对应Van Hamme 1997年列表中的超同余式(B.2)和(H.2)：$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(-1)^k(4k+1)A_k\equiv p(-1)^{(p-1)/2}\pmod{p^3} \quad\text{and}\quad \sum_{k=0}^{(p-1)/2}A_k\equiv a(p)\pmod{p^2},$$ 其中$p>2$为素数，$$A_k=\prod_{j=0}^{k-1}\biggl(\frac{1/2+j}{1+j}\biggr)^3=\frac1{2^{6k}}{\binom{2k}k}^3 \quad\text{for}\ k=0,1,2,\dots,$$ 且$a(p)$为（权3模形式）$q\prod_{j=1}^\infty(1-q^{4j})^6$的第$p$个系数。我们以针对相关超几何和的一个一般公共$q$-同余式补充了我们的结果。