与 q-Fermat 商相关的一些同余式

我们给出了 Z.-W. Sun 提出的以下同余式的 q-模拟：\sum_{k=1}^{p-1}\frac{D_k}{k} \equiv -\frac{2^{p-1}-1}{p} \pmod p,\ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k}{k 2^k}\equiv 0 \pmod{p},\quad p\geqslant 5，其中 p 为素数，D_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k} 为 Delannoy 数，H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} 为调和数。我们还证明，对于任意正整数 m 和素数 p>m+1，有 \sum_{1\leqslant k_1\leqslant \cdots \leqslant k_m\leqslant p-1}\frac{1}{k_1\cdots k_m 2^{k_m}} \equiv\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^m} \pmod p，这是 Kohnen 同余式的多重推广。此外，还建立了该同余式的 q-模拟。