孙智伟猜想的一个调和数同余式的证明

对于正整数 $n$，令 $H_n=\sum_{k=1}^{n}1/k$ 为第 $n$ 个调和数。在本文中，我们证明了对任意素数 $p\ge 7$，有 $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k^2}{k^2} \equiv4/5pB_{p-5}\pmod{p^2},$$ 这证实了孙智伟最近提出的猜想。此外，我们还证明了两个模 $p^2$ 的类似同余式。