Tauraso 同余式的一个推广

对于正整数 $n$，设 $H_n=\sum_{k=1}^{n}1/n$ 为第 $n$ 个调和数。在本文中，我们证明了对任意素数 $p\ge 7$，$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k}{k^2}\equiv \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k^2}{k} \equiv\frac{3}{2p}\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\pmod{p^2}.$$ 注意到该同余式的第一部分最近由 R. Tauraso 作为《Amer. Math. Monthly》中的一道问题提出。在我们对该同余式第二部分的初等证明中，使用了模素数及素数平方的某些经典同余式、涉及调和数的一些同余式，以及 V. Hern\'andez 的一个组合恒等式。