泰勒系数与含调和数的级数

在 2022–2023 年间，Z.-W. Sun 提出了许多关于含广义调和数项的无穷级数的猜想。受此启发，我们推导出 $58$ 个涉及调和数的级数恒等式，其中八个此前由第二作者猜想。例如，我们得到 $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2{2k \choose k}{3k \choose k}} \left( \frac{7 k-2}{2 k-1} H_{k-1}^{(2)}-\frac{3}{4 k^2} \right) = \frac{\pi^4}{720}.$$ 以及 $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 {2k \choose k}^2} \left( \frac{30k-11}{k(2k-1)} (H_{2k-1}^{(3)} + 2 H_{k-1}^{(3)}) + \frac{27}{8k^4} \right) = 4 \zeta(3)^2,$$ 其中 $H_n^{(m)}$ 表示 $\sum_{0<j \le n}j^{-m}$。