$q$-Congruences for Z.-W. Sun's Generalized Polynomials $w^{(\alpha)}_k(x)$

In 2022, Z.-W. Sun 定义了 $w_k^{(\alpha)}{(x)}=\sum_{j=1}^{k}w(k,j)^{\alpha}x^{j-1}$，其中 $k,\alpha$ 为正整数且 $w(k,j)=\frac{1}{j}\binom{k-1}{j-1}\binom{k+j}{j-1}$。设 $(x)_{0}=1$，且对所有 $n\geq 1$，有 $(x)_{n}=x(x+1)\cdots(x+n-1)$。本文通过 $q$-congruences 证明，对任意正整数 ${\alpha,\beta, m,n,r}$，都有\n$\frac{(2,n)}{n(n+1)(n+2)}\sum_{k=1}^{n}k^r(k+1)^r(2k+1)w_{k}^{(\alpha)}(x)^{m}\in\mathbb{Z}[x]$，\n$\frac{(2,n)}{n(n+1)(n+2)}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k^r(k+1)^r(2k+1) w_{k}^{(\alpha)}(x)^{m}\in\mathbb{Z}[x]$，\n以及\n$\frac{2}{[n,n+1,\cdots,n+2\beta+1]}\sum_{k=1}^{n}(k)_{\beta}^r(k+\beta+1)_{\beta}^r(k+\beta) \prod_{i=0}^{2\beta-1}w_{k+i}^{(\alpha)}(x)^m\in\mathbb{Z}[x]$，\n其中 $[n,n+1,\cdots,n+2\beta+1]$ 为 $n, n+1, \cdots, n+2\beta+1$ 的最小公倍数。取 $r=\beta=1$ 可验证部分 Z.-W. Sun 的猜测。