具有某种限制的四平方和

2016 年，Sun 在研究受限整数平方和时提出如下猜想：每个正整数 $n$ 可写为 $x^2+y^2+z^2+w^2$ $(x,y,z,w\in\mathbb{N}=\{0,1,\cdots\})$ 且 $x+3y$ 为平方数。同时，他还猜想对每个正整数 $n$，存在整数 $x,y,z,w$ 使得 $n=x^2+y^2+z^2+w^2$ 且 $x+3y\in\{4^k:k\in\mathbb{N}\}$。本文中，我们通过三元二次型的某些算术理论证实了这些猜想。