带素数相关限制的平方和表示

著名的拉格朗日四平方定理指出，任意整数$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$可写为四个平方数之和。最近，Z.-W. Sun研究了将$n$表示为$x^2+y^2+z^2+w^2$并带有涉及整数变量$x,y,z,w$的某些线性限制。本文通过二次型理论，进一步研究将$n=x^2+y^2+z^2+w^2$（相应地，$n=x^2+y^2+z^2+2w^2$）表示为带有涉及素数的某些线性限制。例如，我们得到如下结果：（i）每个大于1的正整数可写为$x^2+y^2+z^2+2w^2$（$x,y,z,w\in\mathbb N$）且$x+y$为素数。（ii）每个正整数可写为$x^2+y^2+z^2+2w^2$（$x,y,z,w\in\mathbb N$）且$x+2y$为素数。（iii）令$k$为任意正整数，并令$d\ge 2^{k-1}$为奇正整数且$4d^2+1$为素数。则任意足够大的整数可写为$x^2+y^2+z^2+2w^2$ $(x,y,z,w\in\mathbb N)$且对某个素数$p$有$x+2dy=p^k$。