带特定限制的四有理平方和

本文主要研究带特定限制的四有理平方和。令 $\mathbb Q_{\ge0}$ 为非负有理数集合。我们建立了如下有理数四平方定理:对任意 $a,b,c,d\in\mathbb Q_{\ge0}$,每个 $r\in\mathbb Q_{\ge0}$ 都可写为 $x^2+y^2+z^2+w^2$,其中 $x,y,z,w\in\mathbb Q_{\ge0}$,使得 $ax+by+cz+dw$ 为有理平方(或有理立方)。本文还包含许多猜想;例如,对任意满足 $\gcd(a,b)=1$ 的正整数 $a$ 和 $b$,我们猜想每个 $r\in\mathbb Q_{\ge0}$ 都可写为 $aw^4+bx^4+y^2+z^2$,其中 $w,x,y,z\in\mathbb Q$。