Y. Sun 的一些二项式系数恒等式的 q-模拟

我们给出了 Y. Sun [Electron. J. Combin. 17 (2010), #N20] 的一些二项式系数恒等式的 $q$-模拟，如下所示：{align*} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{m+k\brack k}_{q^2}{m+1\brack n-2k}_{q} q^{n-2k\choose 2} &={m+n\brack n}_{q}, \\ \sum_{k=0}^{\lfloor n/4\rfloor}{m+k\brack k}_{q^4}{m+1\brack n-4k}_{q} q^{n-4k\choose 2} &=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k{m+k\brack k}_{q^2}{m+n-2k\brack n-2k}_{q}, {align*} 其中 ${n\brack k}_q$ 表示 $q$-二项式系数。我们提供了两个证明，其中一个是通过分拆的组合证明。