证明 Z.-W. Sun 提出的关于二项式系数的两个整除性质猜想

对于所有正整数 $n$，我们证明了以下整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, 以及 (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$ 这证实了 Z.-W. Sun 最近的两个猜想。文中还给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明对于所有正整数 $m$ 和 $n$，乘积 $am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$ 能被 $m+n$ 整除。事实上，后一结果可以推广到 $q$-二项式系数和 $q$-整数的情形，从而推广了 $q$-Catalan 数的正性。我们还提出了几个相关的猜想。