将 Catalan 数与切angent 数建立关联及其算术应用

我们证明了一种将 Catalan 数与切angent 数建立的组合学恒等式，这种恒等式源自对峰代数（peak algebra）的研究，Aliniaeifard 和 Li 曾对此作出猜测。该恒等式导致了一种引人入胜的恒等式的发现：$$\sum_{k=0}^{n-1}{2n\choose 2k+1}2^{2n-2k}(-1)^{k}E_{2k+1}=2^{2n+1},$$其中 $E_{2k+1}$ 表示切angent 数。有趣的是，后者恒等式可用于证明 $(n + 1)E_{2n+1}$ 能被 $2^{2n}$ 整除且商为奇数，这一事实的传统证明需要大量计算。此外，我们发现后者恒等式的自然 $q$ 型（$q$-analog）并给出组合学证明。这种 $q$ 恒等式可用于证明 Foata 关于 $q$ -切angent 数的可整除性质，这回应了 Sch"utzenberger 提出的问题。