郭老教授 positivity 猜想的两个证明

我们证明了郭老教授提出的两个关于交替和数列及阶乘比 built from Gaussian 系数的 positivity 猜想。第一个结果证明了奇数 $q$-超 Catalan 数的 positivity，即 $$C_{m,n}(q)=\frac{[2m+1]![2n]!}{[m+n+1]![m]![n]!}.$$ 该证明利用 Warnaar 和 Zudilin 对于常规 $q$-超 Catalan 数的 positivity 定理，结合双重应用 $q$-Chu--Vandermonde 求和所得到的两个递推式。第二个结果证明了郭的交替和 positivity 猜想的强化版本，将指数系数 $2r-1$ 替换为每个奇数系数 $2b-1$，其中 $1\leq b\leq r$。其证明结合 $q\mapsto q^{-1}$ 的 reciprocity 与有限删除递推。