数量化关联及连体整数素因数问题

我们考察了涉及素数因子计数函数 $\omega(n)$ 以及相关函数 $\Omega(n)$ 和 $\tau(n)$ 的若干古老问题。首先，我们证明存在无穷多个正整数 $n$，使得对所有正整数 $k$ 都有 $\omega(n+k) \leq \Omega(n+k) \ll k$，从而证明了 Erd\H{o}s 与 Straus 的猜想。其次，我们证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \omega(n)/2^n$ 为无理数，解决了 Erd\H{o}s 的猜想。最后，我们给出 Erd\H{o}s、Pomerance 与 S\'ark\"ozy 对满足 $\omega(n)=\omega(n+1)$ 的 $n \leq x$ 个数的计数 asymptotics 公式的证明，几乎对所有 $x$ 都成立，关于 $\Omega$ 和 $\tau$ 也得到类似结果。解决所有这些问题的共通方法是概率方法。对于第一个问题，结合了Maynard 类型高维筛的计算；对于第二个和第三个问题，则利用了关于两点乘性函数的定量估计，这类估计可独立地具有重要意义。该相关性估计通过Pilatte 最近的工作得出。