解决 Erd\H{o}s 与 Hall 关于可分离数的两个猜想

Erd\H{o}s 与 Hall 定义一对 $(m, n)$ 的正整数为互锁的，当且仅当在 $n$（或 $m$）的两个连续除数（均大于 1）之间存在 $m$（或 $n$）的除数。若一个正整数属于互锁数对，则称其为可分离的。我们证明了可分离二的幂的下密度为正，以及那些不可分离的二的幂的下密度也为正。最后，我们证明了若若干互锁数对的乘积等于前几个素数的乘积，则这些数对的个数是有限的。我们由此解决了 Erd\H{o}s 与 Hall 关于可分离数的两个猜想。