关于 Graham 关于中心二项式系数 p 整除性猜想的注记

我们证明了对每个 $r \geq 1$ 以及所有 $r$ 个互异（充分大）的素数 $p_1,..., p_r > p_0(r)$，存在无穷多个整数 $n$ 使得 ${2n \choose n}$ 仅以低重数被这些素数整除。由 Kummer 定理，$p_j$ 整除 ${2n \choose n}$ 的次数上界为 $1+\log n / \log p_j$；而我们的定理表明，对每个 $\varepsilon > 0$、$r \geq 1$ 以及任意充分大的素数 $p_1,...,p_r > p_0(\varepsilon,r)$，可找到整数 $n$ 使得对 $j=1,...,r$，$p_j$ 整除 ${2n \choose n}$ 的重数至多为 $\varepsilon \log n/\log p_j$。我们将此结果与 R. L. Graham 关于是否存在无穷多个整数 $n$ 使得 ${2n \choose n}$ 与 $105$ 互素的著名猜想相联系。