关于等差数列中素数的狄利克雷定理的新证明

众所周知，存在无穷多个形如整系数一次多项式的素数，这就是狄利克雷定理。我们利用初等筛法论证结合素数计数函数的界，提供了狄利克雷定理的一个新证明。我们证明，若 $a\in \mathbb{N},k\in \mathbb{N},a_{k}=(a,a+1,...,a+k-1)$ 且 $A=\left\{ p_{1},p_{2},...,p_{n}\right\}$ 为一个有限素数集，则 $a_{k}$ 中被 $A$ 中某个素数整除的分量数量小于或等于 $$\sum\limits_{\substack{ d|P(A)\ d>1}}(-1)^{\omega \left( d\right) +1}\left\lfloor \frac{k}{d}\right\rfloor +2n$$ 其中 $\omega \left( d\right)$ 是 $d$ 的不同素因子的数量，且 $P(A)=\prod_{p\in A}p$。我们声称界中的 $+2n$ 可以替换为 $n$，即\texttt{最佳可能界}。然而，由于 $+2n$（界）已足以用于狄利克雷定理的新证明，本文未对此声称进行演示。该结果实际上意味着，给定 $[1,x], x\in\mathbb{R}$；如果 $A$ 中的素数整除 $[1,x]$ 中的 $h$ 个整数，那么对于任意 $g>0$，它们最多整除 $[1+g,x+g]$ 中的 $h+2|A|$ 个整数。